Chociaż udzielanie się w środowisku jest przez pewne grupy społeczne uznawane za odrobinę szemrane zajęcie, w poniższym artykule postaram się przybliżyć Wam odrobinę bardziej przyziemny aspekt gry – matematykę. Gdyby przeprowadzić ankietę: „Który przedmiot był przez Ciebie najbardziej znienawidzonym w szkole?”, pewnie duża grupa respondentów wskazałaby właśnie na „królową nauk’. Niestety w życiu pokerzysty przychodzi moment, w którym ta niezbyt kochana dziedzina znajduje zastosowanie. Spróbujmy pochylić się na kilka minut nad częścią matematyki – kombinatoryką. W dużym skrócie jest to dział skupiony wokół obliczania liczby możliwych układów, które możemy wyciągnąć z określonego zbioru. Brzmi skomplikowanie? No to rozjaśnijmy odrobinę.
<Uwaga przykład został wymyślony pod wpływem nocnych rozmów w trakcie Pokertour Bratysława.>
Załóżmy, że wybraliśmy się w odwiedziny do naszego znajomego grindera mieszkającego na stałe w Tajlandii. Zaraz po check-inie w jego skromnym penthouse’ie wybieramy się na standardowe rozpoznanie terenu. W jednym z dusznych barów napotykamy na zdecydowanie otwartą na nowe znajomości grupkę urocznych tubylek, w całkowitej liczbie 5 (bo to mały bar był). Znajomy obeznany z panującymi w tym kraju tradycjami za wczasu uprzedził nas, że nasza tymczasowa sypialnia może gościć co najwyżej 3 osoby, w tym nas samych. Ile możliwość rozwinięcia dopiero co zawiązanych znajomości mamy? W tak poważnej kwestii powinniśmy oprzeć się właśnie na kombinatoryce.
Wykorzystując dobrodziejstwa matematyki weźmiemy w obroty taki o to wzór: nCr = n!/(r! x (n-r)!) gdzie n to wielkość zbioru, a r ilość, którą wyciągamy ze zbioru. W naszym przykładzie n to pięć pięknych Tajek, a r to dwie, którym maksymalnie możemy pokazać jak mieszkamy. Liczymy możliwe kombinacje w poniższy sposób:
5C2 = (5 x 4 x 3 x 2 x 1)/(2 x 1) x (3 x 2 x 1)
= 10
Dziesięć kombinacji to już naprawdę spory ból głowy stąd zalecany jest dłuższy pobyt w tych rejonach. Wracając do pokera właśnie w ten sposób pojawiły się kolejne numery i tak dla przykładu: liczba wszystkich możliwych kombinacji w Texas Hold’em to n – 52 karty w decku, r – 2 trzymane w ręce. 52C2 = 52!/(2! x 50!) = 1326.
Lubimy wszyscy dostać dwa Asy do ręki? Szansa na takie cudowne zdarzenie wyniesie więc 4C2 = 4!/(2! x 2!) = 6 kombinacji Asów, A dokładniej 
, 
, 
, , , . Wykorzystując wcześniejszą liczbę wszystkich możliwości mamy 6/1326 = 221. Raz na ponad 200 przypadków zobaczymy w swoich kartach startowych dwa piękne Asy. Niezbyt często musicie przyznać. Po co nam to wszystko? Ano już daję trochę bardziej praktyczny przykład.
Wyobraźmy sobie, że jakiś nit otwiera UTG, a my szybko sprawdzamy jego pop-up i wyświetlają nam się dokładniejsze statystyki. Okazuje się, że jego zakres w takiej sytuacji to 10% wszystkich rąk. W praktyce jest to zakres odpowiadający poniższej tabelce:
Dziesięc procent nie pierwszy rzut oka wydaje się bardzo tight i uznajemy, że nie za bardzo chcemy się wdawać w żadne przepychanki, o 3-betowaniu już nie wspominając. Nic bardziej mylnego, spójrzcie na kombinatorykę. Przeciwnik ma w swoim zakresie otwarcia następujące wartości:
Duże Pary: 6 x AA, 6 x KK, 6 x QQ, 6 x JJ
Mniejsze Pary: 6 x TT, 6 x 99, 6 x 88, 6 x 77
Wysokie Broadwaye: 16 x AK, 16 x AQ, 16 x AJ, 16 x KQ
Inne Broadwaye w kolorze: 4 x ATs, 4 x KJs, 4 x KTs, 4 x QJs
Co daje nam całe 128 kombinacji z przypomnijmy 1326. Patrząc na cały zakres to KK+ i AK jest jedynie jedną piątą prezentowanego range’u, a dodają jeszcze pary od TT do QQ mamy 36% całości. Czyli trochę ponad 1/3 rąk, które w praktyce kontynuują na naszą agresję. Wychodzi więc na to, że jeśli przeciwnik spasuje wszystko poza TT+ i AK tak naprawdę pasuję 82 z 128 kombinacji. A to całkiem sporo.
Uderzymy z drugiej strony, niech ten sam gość zagra nam 3-bet, a jego statystyki pokazują, że jest to nie mnie,j nie więcej jak 2%. Super zakres i nie mamy czego szukać? Chociaż w tym zakresie zawierają się jedynie KK, AA i AK to sprawa wcale nie wygląda tak, że mamy po 33% każdej z wymienionych rąk. W rzeczywistości sprawa wygląda następująco:
AA – 6 kombinacji
KK – również 6 kombinacji
AK – aż 16 kombinacji
AK tak naprawdę jest prawie 2/3 całości zakresu 3 betu tego nita. Dużo częściej ma tam właśnie Big Slicka niż jedną z dwóch najmocniejszych par.
Oprócz możliwości oszacowania procentowego nasycenia układami o różnej mocy zakresu przy danych założeniach, kombinatoryka przydaje się także w grze postflop. Pozwólcie, że przytoczę kolejny przykład podpierając się wpierw dwoma prościutkimi wzorami.
Mamy na ręce 
, a stół wygląda na przykład tak: 
Ile kombinacji AK i TT może mieć przeciwnik – ten z poprzedniego przykładu ( nie ma w zakresie 44)? Liczymy to w następujący sposób:
Dla układu niesparowanego ( w naszym przypadku AK). C = A1 x A2, gdzie A1 odpowiada pozostałym Asom w talii (4 są dostępne), a A2 Królom (2 – jednego mamy w ręce, drugi jest już na stole). C = 4 x 2 = 8 kombinacji AK
A co z parą dziesiątek? Rzecz liczy się w następujący sposób: C = A x (A -1) /2, w naszym przykładzie to C = 3 x (3-1)/2 = 3 kombinacje.
No w takim razie weźmy to wszystko zbierzmy razem i policzmy na koniec coś takiego:
Sytuacja wygląda w ten sposób, że doszliśmy szczęśliwie do river z parą dwójek na takim boardzie:
Gramy value bet za 10$ do puli 12$, a przeciwnik niespodziewanie wsuwa 60$, powodując że pula ostatecznie wynosi 82$, a my mamy do dołożenia 50$. Potrzebujemy mieć najlepszą rękę w 38% czasu. Policzmy, czy tak jest mając następujące założenia:
Przeciwnik zagra tak z każdym wyższym setem, czyli:
AA – 3 kombinacje
JJ – 3 kombinacje
88 – 3 kombinacje
66 – 3 kombinacje
Oraz z wszystkimi kombinacjami AJ i połową z A8 i A6, czyli:
AJ – 9 kombinacji
A8 – 5 kombinacji ( z max. 9)
A6 – 4 kombinacje (z max. 9 total A8 i A6 = 18)
Układy, które nas biją to 3+3+3+3 = 12. My bijemy 18. Rozpatrujemy łącznie 30 kombinacji. 18/30 daje nam najlepszą rękę w 60% przypadku, czyli gramy mimo wszystko call mając najniższego seta.
Mam nadzieję, że w miarę przyjazny sposób przedstawiłem Wam wstęp do kombinowania i zachęciłem do samodzielnego liczenia sobie kombinatoryki pokerowej. Muszę przyznać, że mamy szczęście, że operujemy na dosyć małym zbiorze. Nikt nie twierdzi, że mamy zakochiwać się w matematyce, ale krótki flirt pewnie nikomu nie zaszkodzi. Jeśli będzie odzew to pewnie wrócimy do Tajek i matematyki w kolejnych artykułach.
pozdrawiam
daero
na podstawie: „Let there be range” Nguyen
